Числа в пространстве

В статье автором проводится мысль о том, что изначальная форма движения есть вращение, завихрение, своего рода математический круг (колесо), и именно она лежит в основе мира/сущего.

I. ПРЕВРАЩЕНИЕ 4-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ В КВАРТЕРНИОННОЕ ВРЕМЯ-ПРОСТРАНСТВО

II. ВРАЩЕНИЕ КАК ФОРМА ДВИЖЕНИЯ, НЕРЕДУЦИРУЕМАЯ К ПРЯМОЛИНЕЙНОМУ

III. НЕПРЕРЫВНЫЙ КОНТИНУУМ И ЧИСЛОВЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

ОТ АВТОРА: На прошедшей недавно международной математической конференции "Многомерный комплексный анализ" (International Conference "Multidimensional Complex Analysis", Krasnoyarsk, Russia, August 5-10, 2002) я представил внепрограммный доклад "Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?" Доклад был посвящен обширной теме "Нестандартный анализ неклассического движения", на первый план выдвигались математические и методологические аспекты проблемы, связанные с обоснованием нестандартной модели анализа А.Робинсона и расширением поля действительных чисел.

Предлагаемая здесь работа адресована в первую очередь физикам, — математические аспекты вынесены за скобки, а физическое содержание конкретизировано. Автор рекомендует заинтересовавшимся читателям обратиться к электронным версиям "Нестандартный анализ неклассического движения.  Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?", "Время и хронометрика. Ареальные множества", которые представлены на русском и английском языках в Интернете (на сервере Красноярского государственного университета и на сайте www.sciteclibrary.ru).

Пользуясь случаем, автор благодарит математиков и физиков, высказавших в беседах и по e-mail свои критические и конструктивные комментарии к поставленной проблеме.

I.

Один из научных текстов Вольфганга Паули начинается примечательной фразой: "Введем, как обычно, вещественные координаты X_k для пространства и мнимую координату X₄ = iCt для времени, и рассмотрим преобразования Лоренца..." (В.Паули. Труды по квантовой теории. М.:  "Наука", 1977, в статье "К математической теории матриц Дирака", п.5 "Преобразование Лоренца волновых функций Дирака", с. 233.). Словесный оборот "как обычно" можно расценить в качестве остроумной интеллектуальной провокации, подразумевающей, что указанную процедуру можно сделать и "необычным" путем. Как? Не трудно сказать: мы попробуем для времени оставить вещественную координату, а 3 пространственные координаты представим как мнимые. Тогда 4-мерный псевдоевклидовый континуум Минковского превратится в некое необычное многообразие, которое мы далее будем называть "квартернионное время-пространство".

Появление здесь термина "квартернион" понятно: четверку чисел, выражающих координаты, — одно вещественное и три мнимых — легко представить в качестве квартерниона. Однако квартернионы — это алгебраические числа, а 4-х мерное пространство-время — это континуум. Если так, то существуют ли достаточные основания для того, чтобы ставить их в соответствие? К этому вопросу мы вернемся несколько позже, а пока будем расценивать квартернионное время-пространство как некую чисто логическую конструкцию, — таковую можно рассмотреть в общем и проанализировать в частностях. Попутно отметим, что в современной науке термин "пространство" уже не связывается однозначно только с мерой расстояния, и ничто не мешает нам составить 4-мерное псевдоевклидово пространство индекса 3, где на осях откладывается мера в размерности [t]. Но поскольку время — это физический параметр, отражающий важнейший аспект реальности, то нас в данной статье будет интересовать в первую очередь не формально-математические свойства полученной конструкции, а ее физическая интерпретация.

То, что алгебра квартернионов некоммутативна — сразу же наводит на мысль: полученный таким образом абстрактный объект имеет прямое отношение к квантово-механическим особенностям физического мира. Однако мы не станем забегать вперед, будем рассматривать квартернионное время-пространство таким образом, как если бы мы ничего еще не знали о существовании квантовой механики. Иными словами, постараемся пока сохранить в неприкосновенности классические представления о течении времени и протяженности пространства.

Итак, мы имеем перед собой 4-мерное многообразие, где вещественная ось — чистое время, а три другие — это пространственные координаты, превращенные в мнимые временные оси. При построении 4-мерного псевдоевклидового континуума Минковского все четыре координаты были выражены в одной мере [x], что достигалось с помощью умножения временной координаты на коэффициент C — скорость света [м/с]. Поэтому в нашем квартернионном время-пространстве одноразмерность получается аналогичным путем: мнимые пространственные координаты должны быть умножены на некий коэффициент S с размерностью [с/м]. Можно было бы сказать, что это "обратная скорость света", но это не так. Обратная скорость света 1/C, как реальная физическая величина не может быть искомым коэффициентом, поскольку шкала обратных скоростей неравномерна. В классическом представлении скорость — это отношение, где в числителе отрезок расстояния, а в знаменателе период времени — времени как независимой переменной. Тогда для "обратной скорости", где числитель и знаменатель меняются местами, вместе с обращением размерности возникает и неравномерная шкала величин: 1[м/с]=1[с/м], 2[м/с]=1/2[с/м], 3[м/с]=1/3[с/м], 4[м/с]=1/4[м/с] и т.п. Создается впечатление, что по этой причине квартернионное время-пространство не может быть аналогом 4-мерного континуума. Однако выход из тупика легко обнаружить, если не считать коэффициент S "обратной скоростью" – это просто некий коэффициент с размерностью [с/м].

Здесь мы от математики должны обратиться к физике. Если коэффициент C в псевдоевклидовом континууме Минковского — это вполне конкретная физическая величина, скорость света, имеющая в разных системах отсчета конкретное численное значение, то в нашем квартернионном время-пространстве коэффициент S также должен быть ничем иным как некой физической величиной — константой, отличной по сути своей от скорости света, но имеющей размерность [с/м] — обратную размерности скорости. На роль такой константы можно выдвинуть комбинацию констант h/e², где h — постоянная Планка, а e — заряд электрона. Хорошо известно, что эта комбинация констант наряду с C входит в выражение безразмерной постоянной тонкой структуры 1/a = ħC/e² = 137,0306... (здесь ħ – постоянная Планка, деленная на два "p" – h/2p). Я полагаю, что так оно и есть: квартернионное время-пространство — это математическое выражение реального аспекта микрофизической реальности, где константа S=h/e² с размерностью [с/м] столь же важна, как важна скорость света для глобального 4-мерного континуума Минковского.

Приняв эту трактовку, мы тем самым перекидываем логический мостик между квантовой и релятивистской физикой, обнаруживая — пока только формально-математически — глубокую связь между глобальной пространственно-временной картиной мира и микрофизической квантовой реальностью. Таким образом, логический смысл безразмерной постоянной тонкой структуры выражается в том, что она показывает соответствие между континуумом Минковского и квартернионным время-пространством. Я полагаю, что Вольфганг Паули, который настаивал на теоретическом обосновании физического статуса этого загадочного числа 137,0306..., имел в виду нечто подобное...

(ВНИМАНИЕ! Выше приведено начало статьи) 

Скачать полный текст в формате PDF